Hybrid simulation of the Rossler system by synchronizing analog and discrete models

Butusov Denis Nikolaevich PhD in Technical Science Associate Professor, Department of CAD, Ulyanov (Lenin) St. Petersburg State Electrotechnical University "LETI" 197376, Russia, g. Saint Petersburg, ul. Professora Popova, 5 dnbutusov@etu.ru Other publications by this author     Karimov Artur Iskandarovich PhD in Technical Science Senior Lecturer, Department of CAD, St. Petersburg State Electrotechnical University "LETI" 197376, Russia, g. Saint Petersburg, ul. Professora Popova, 5 aikarimov@etu.ru Tutueva Aleksandra Vadimovna Assistant, Department of CAD, Ulyanov (Lenin) St. Petersburg State Electrotechnical University "LETI" 197376, Russia, Saint Petersburg, ul. Professora Popova, 5 avtutueva@etu.ru Other publications by this author     Krasil'nikov Aleksandr Vital'evich Assistant, Department of CAD, St. Petersburg State Electrotechnical University "LETI" 197376, Russia, g. Saint Petersburg, ul. Professora Popova, 5 aleksandar7kr@gmail.com Goryainov Sergei Vadimovich Engineer, St. Petersburg State Electrotechnical University "LETI" 197376, Russia, g. Saint Petersburg, ul. Professora Popova, 5 svgoryainov@etu.ru

Voznesensky Aleksandr Sergeevich Engineer, Department of APU, St. Petersburg State Electrotechnical University "LETI" 197376, Russia, g. Saint Petersburg, ul. Professora Popova, 5 a-voznesensky@yandex.ru

Введение

Явление хаотической синхронизации применяется в различных областях техники, таких как безопасность и телекоммуникации ^[1-2], нелинейное управление и обработка сигналов ^[3-4], локационные системы и др. Во всех указанных приложениях требуются генераторы хаотических сигналов с заданными свойствами. Преимущества использования цифровых вычислительных устройств при решении таких задач очевидны: они обеспечивают стабильность параметров генерируемых хаотических сигналов, большей точностью по сравнению с аналоговыми устройствами, простотой реконфигурации и малым энергопотреблением. В то же время, численное моделирование хаотических систем связано с определёнными сложностями: точность задания параметров системы и свойства применяемого численного метода оказывают решающее влияние на адекватность моделирующей системы ^[5-7]. До сих пор численное моделирование хаотических дифференциальных уравнений на продолжительных интервалах времени остаётся нетривиальной задачей ^[8]. Отдельным пунктом можно отметить требование к устойчивости дискретных генераторов к квазихаотическим режимам колебаний. Ответом на данную проблему могла бы стать гибридная архитектура генераторов, полученная путем синхронизации аналоговых и цифровых моделей хаотических систем, однако будет ли такая структура обладать достаточной точностью для практического применения?

Возможность подобной синхронизации открывает широкие перспективы создания основанных на хаотических системах передатчиков, сенсоров, локаторов и т.д., более чувствительных и избирательных благодаря особым свойствам детерминированного хаоса. Для обнаружения определённого значения физической величины в них используется аналоговая хаотическая система, а цифровая рассматривается в качестве опорной с изменяющимся параметром, по которому определяется значение физической величины. При достижении синхронизации значение изменяющегося параметра может быть использовано для получения значения рассматриваемой физической величины. Как упоминалось выше, цифро-аналоговая синхронизация также позволит избежать возникновения квазихаотического режима при долгосрочном моделировании.

Большинство исследователей ориентируются в первую очередь на математическое моделирование в инструментальных пакетах или физическую реализацию хаотических систем в виде аналоговых схем. Взаимодействие же цифровых и аналоговых моделей хаотических систем до сих пор не было рассмотрено в полном объеме. Одна из целей нашего исследования - восполнить этот пробел.

Синхронизация моделей системы Рёсслера

Осциллятор Рёсслера описывается следующей системой обыкновенных дифференциальных уравнений:

(1)

Хаотическое поведение системы традиционно наблюдается при следующих параметрах: a = 0.2, b = 0.2, c = 5, d = 2 (см. рис. 1). Параметр d введён для сохранения значения переменных состояния в диапазоне [-10V; 10V], необходимого для корректной работы используемого нами цифрового осциллографа.

Рис. 1. Аттрактор системы (1) в фазовом пространстве

Синхронизация двух осцилляторов Рёсслера производится по переменной x при помощи константы k ^[9]. Могут быть использованы два вида соединения: однонаправленное и двунаправленное. Во втором случае, связанные осцилляторы описываются системой уравнений:

(2)

В случае однонаправленного соединения уравнение переменной x₂ не содержит члена k(x₁-x₂).

Общая схема цепи аналоговой модели приведена на рис. 2. В ходе экспериментов были рассмотрены схемы на основе нескольких моделей операционных усилителей. Результаты, полученные с использованием операционных уселителей (ОУ) моделей TL064, LM324, LF444, MC3307 заметно отличаются от результатов моделирования, поэтому они были отброшены как недостаточно адекватные. При использовании прецизионных ОУ OPA2277 и OPA4134 были получены корректные результаты, поэтому было принято решение использовать их в дальнейших экспериментах. Моделирование проводилось при шаге интегрирования τ=1 мс, значение k было принято равным k = 1.

Рис. 2. Аналоговая реализация двух осцилляторов Рёсслера с двунаправленным соединением

На рис. 3 приведены фазовые портреты переменных состояния двух синхронизированных аналоговых моделей системы Рёсслера. Траектории синхронизированных систем близки, их разница составляет менее 4%. В данном эксперименте допустимое отклонение номиналов резисторов и конденсаторов составляло ±1%. Большая точность синхронизации может быть достигнута путём применения прецизионных пассивных элементов.

Рис. 3. Фазовые портреты двух синхронизированных аналоговых систем на интервале времени равном 50 с, в случае однонаправленной (слева) и двунаправленной (справа) синхронизации

Рис. 4. Ошибка синхронизации в случае однонаправленного (слева) и двунаправленного (справа) соединения двух аналоговых моделей системы Рёсслера

Усреднённое среднеквадратическое отклонение (СКО) по переменным состояния составило 2.1 % для однонаправленной синхронизации и 1.9 % для двунаправленной (рис. 4).

Цифровая модель системы Рёсслера

Для реализации цифрового решения системы (1) в нашей работе мы использовали полунеявный метод КД ^[10]. Он представляет собой симметричный метод численного интегрирования второго порядка точности, обладающий относительно малыми вычислительными затратами при большей точности и устойчивости, чем у явных методов. Методы данного класса также хорошо подходят для аппаратной реализации вычислений с фиксированной точкой и задач моделирования в реальном времени, что объясняется лёгкостью масштабировании вычислительных схем, полученных на их основе и минимальным числом используемых арифметических операций ^[11]. Алгоритм решения задачи (1) методом КД можно записать следующим образом:

` `

Следует отметить, что размер подшага h здесь соотносится с глобальным шагом интегрирования H, как h = Н/2. На рис.5 приведено сравнение производительности различных решателей ОДУ 2-го порядка при решении задачи (1). Моделирование производилось на интервале времени, равном 50 с. для десяти значений постоянного шага интегрирования. Исследовались наиболее известные одношаговые алгоритмы численного интегрирования второго порядка точности: метод явной средней точки (Explicit Midpoint), его модификация со сглаживающим шагом Грэгга (Gregg-Bulirsch-Stoer) и метод неявной средней точки в его линейно-неявной модификации (Implicit Midpoint).

Рис. 5. График производительности различных решателей ОДУ 2-го порядка

Можно заметить, что метод КД при моделировании одиночной системы Рёсслера обладает лучшей производительностью, чем все рассмотренные аналоги, в том числе популярный метод Грэгга-Булирша-Штёра ^[4]. Добавим в правую часть системы член синхронизации вида k(xⁿ-sync):

Значение переменной sync равно значению в данной точке сигнала синхронизации, полученного от другой цифровой системы, или в случае гибридного моделирования, через аналого-цифровой преобразователь (АЦП) с аналоговой модели системы. В случае синхронизации двух цифровых систем, основанных на эквивалентных конечно-разностных схемах, ошибка синхронизации быстро уменьшается до уровня вычислительной погрешности, как в случае однонаправленной синхронизации, так и в случае двунаправленной (рис. 6).

Рис. 6. Ошибка синхронизации при однонаправленной и двунаправленной синхронизации двух эквивалентных дискретных моделей системы Рёсслера

В случае неэквивалентности дискретных моделей полная синхронизация не может быть достигнута. Эта особенность может использоваться при решении задачи идентификации систем, или атак на криптосистемы, основанные на хаотических генераторах псевдослучайных чисел.

Гибридное моделирование осциллятора Рёсслера посредством синхронизации аналоговой и дискретной моделей

В экспериментальных исследованиях цифро-аналоговой синхронизации мы использовали уже описанные ранее аналоговые схемы (рис. 2). Для организации синхросвязи исследуемая схема подключалась к цифровой плате сбора данных NI DAQ 6251, оснащенной многоканальными быстродействующими АЦП и цифро-аналоговым преобразователем (ЦАП) с разрядностью 16 бит. Обработка данных и выдача синхронизирующего сигнала с частотой 20 кГц осуществлялась программным обеспечением, запущенным на персональном компьютере в среде NI LabVIEW 2017.

Рис. 7. Ошибка синхронизации при однонаправленной (слева) и двунаправленной (справа) синхронизации цифровой и аналоговой модели системы Рёсслера. Усреднённое СКО по переменным состояния составило 1.4 % и 0.6 % соответственно

На рисунке 7 показана экспериментальная оценка ошибка синхронизации при гибридном способе моделирования. Интересным результатом можно назвать то, что в случае однонаправленной синхронизации цифровой и аналоговой модели удалось получить большую точность, чем при двунаправленной синхронизации двух аналоговых моделей. Однако для этого пришлось провести тонкую настройку некоторых параметров: наилучшая точность была достигнута с использованием параметра cd в цифровой модели немного отличающейся от c = 5 в уравнении (1). Кроме того, был использован шаг моделирования h = 4,95∙10^-5 вместо теоретически рассчитанного шага h = 5∙10^-5. Данные модификации, очевидно, связаны с несовершенством компонентов аналоговой схемы и погрешностями АЦП.

Полученное усреднённое СКО для двунаправленной синхронизации составило 0,6 %, что в 3 раза меньше, чем в случае синхронизации двух аналоговых систем (1,9 %). Причиной такого результата является возможность более точной настройки параметров дискретной системы.

На рис. 8 показаны аттракторы синхронизированных цифровой и аналоговой системы Рёсслера. Хаотические орбиты систем в фазовом пространстве визуально накладываются. В общем случае, при разнице в параметрах связанных систем их поведение изменяется при любом типе синхронизации и может заметным образом отличаться от поведения одиночной системы.

Рис. 8. Фазовый портрет синхронизированной пары систем Рёсслера при гибридном моделировании

Следующим рассматриваемым случаем является синхронизация трёх систем. При подобном типе синхронизации возможна различная топология соединения. Общий вид топологий, рассмотренных в работе, приведен на рис. 9. Получаемые системы уравнений зависят от конкретной выбранной топологии. Структура типа «цепь» может быть описана следующим образом:

(3)

где x_d, y_d, z_d – переменные состояния дискретной системы, а аналогичные переменные с числовыми индексами – переменные состояния двух аналоговых систем.

Результаты экспериментального исследования приведены на рис. 10 и рис. 11. Из диаграммы видно, что полностью связанная топология позволяет получить наибольшую точность синхронизации. Значения погрешности синхронизации, полученные для аналоговых цепей 1 и 2, не превышали 1 %. Параметры цифровой системы могут быть настроены таким образом, чтобы получить максимально точную синхронизацию с одной из этих двух систем. При этом повышение точности синхронизации с одной системой, снижает точность синхронизации с другой, поскольку отклонения в номиналах схемных элементах у них могут быть различны как по величине, так и по знаку. В данной работе для тонкой настройки параметров дискретной модели выбиралась только одна аналоговая модель системы Рёсслера, фигурирующая далее как «Аналоговая система 2».

Рис. 9. Различные топологии синхронизации хаотических систем: a) топология «цепь» b) топология «кольцо» c) топология «кольцо-цепь» d) полносвязная топология

Рис. 10. Ошибка синхронизации трёх связанных моделей системы Рёсслера, усреднённая по всем переменным состояния

Рис. 11. Ошибка синхронизации трёх связанных систем, усреднённая по синхронизирующей переменной

В случае полносвязной топологии ошибка между аналоговыми системами минимальна, так как обе они синхронизированы с одной цифровой системой. Двунаправленная топология типа «кольцо-цепь» не позволяет достичь таких результатов. Средняя ошибка синхронизации в ней составляет примерно 2 %, что превышает ошибку, полученную при синхронизации двух систем. Однако полученный результат может быть улучшен путём более тщательного подбора аналоговых элементов и использования цифровой системы, работающей в режиме реального времени. На рис. 12 показан график реальных значений частот выборки сигнала, полученный в ходе одного из экспериментов. Можно видеть, что отклонение частоты дискретизации от заданной достигает 8 %. Подобное явление связано с особенностями работы операционной системы Windows.

Рис. 12. Колебания частоты дискретизации системы DAQ под управлением операционной системы Windows

Заключение

В работе была экспериментально показана возможность синхронизации аналоговой и дискретной моделей хаотических осцилляторов Рёсслера. После настройки параметров численной модели, средняя приведённая погрешность синхронизации в гибридной модели достигла значений в несколько раз меньших, чем в случае синхронизации двух аналоговых систем. В случае двунаправленного соединения это значение составляет 0,6 % и 1,9 %, соответственно.

Экспериментально исследованы различные топологии соединения при синхронизации трёх различных систем. Показано, что наибольшая точность синхронизации получается при использовании полносвязной топологии. Несовершенство аналоговых элементов, колебания частоты дискретизации и эффекты квантования сигналов в трактах ЦАП и АЦП влияют на точность синхронизации, поэтому точность синхронизации трёх систем обычно ниже, чем в случае синхронизации двух систем. Минимальная ошибка синхронизации трёх систем в данном исследовании составила 2 %.

Дальнейшие исследования будут направлены на поиск путей повышения точности синхронизации нескольких хаотических систем, подробному изучению особенностей синхронизации цифровых и аналоговых моделей, а также созданию технических решений, использующих гибридный принцип моделирования хаотических систем.